Startseite    Das Projekt    Technik    RoboSpatium    Unterstützung    Stichwortverzeichnis    Neuigkeiten    Download    Reaktionen    Spiele    Kauftipps    Kontakt   




<<< Selbstinduktion         Energie von Magnetfeldern >>>

Schaltvorgänge

Eine Spule ist nicht nur Spule...

...ein Kondensator nicht nur Kondensator und ein Widerstand nicht nur Widerstand. Im vorherigen Kapitel haben wir bereits gesehen, dass der Spulendraht immer auch ohmschen Widerstand mit sich bringt. Im Augenblick ist mir zumindest kein supraleitendes Material bekannt, das bei Temperaturen von 20 °C und darüber diesen Zustand beibehält. Im Operationsbereich unseres Elektrofahrzeugs müssen wir also immer den Widerstand der (zumeist) Kupferdrähte im Auge behalten. Kondensatoren werden ebenfalls über Drähte in den Stromkreis eingebunden und auch diese Zu- und Ableitungen sind widerstandsbehaftet. Weiterhin bildet ein Stromkreis mit einem Kondensator auch automatisch eine geschlossene Leiterschleife, ist also ein wenig Spule. Folienkondensatoren bestehen aus zwei Aluminiumfolien mit einer isolierenden Kunststofffolie dazwischen. Die drei Lagen werden dann platzsparend zusammengerollt. Diese Wicklung bedingt einen noch stärkeren Spulencharakter derartiger Kondensatoren.

Kapazität und Induktivität eines Drahtes
Figure 1:
Der Stromkreis mit einem angeschlossenen Kondensator kann als Spule mit einer einzigen Wicklung aufgefasst werden.
Die Ladungsträger in einem metallischen Leiter können durch Spannung gegeneinander verschoben werden und fungieren damit wie ein Kondensator. Selbst normale Stromleitungen sind also immer auch Kondensatoren.
Ladungsverschiebung tritt "vor" bzw. "hinter" einem Widerstand auf, womit auch Widerstände eine Kapazität besitzen.

Ein- und Ausschalten

Unser Elektroauto werden wir nicht steuern, indem wir einen mechanischen Schalter öffnen oder schließen, um somit den Elektromotor anzusteuern. In den Kapiteln zur Halbleitertechnik werden wir noch genauer sehen, wie elektronische Schalter funktionieren. An dieser Stelle möchte ich nur die elektronischen Zustände "An" und "Aus" ansprechen.
In einem Stromkreis bedeutet der Zustand "Aus", dass zwischen den Anschlussklemmen der Spannungsquelle eine Spannungsdifferenz von Null Volt besteht und Elektronen ungehindert passieren können. Der Zustand "Ein" bedeutet, dass zwischen den Anschlussklemmen die von der Spannungsquelle (wir betrachten hier Gleichspannung) erzeugte Spannung anliegt und Elektronen gepumpt werden, bis diese Spannung erreicht ist. Wir nehmen zunächst weiterhin an, dass der Schaltvorgang vom Zustand "Aus" zum Zustand "Ein" und umgekehrt ohne Zeitverlust vonstatten geht.

Verlauf Eingangsspannung
Figure 2:
Zum Zeitpunkt t0 beträgt die Spannungsdifferenz zwischen den Anschlussklemmen 0V (=AUSgeschaltet). Zum Zeitpunkt t1 springt die Spannung auf den Wert der Gleichspannungsquelle U1 (=EINschalten). Zum Zeitpunkt t2 springt die Spannung wieder zurück auf 0V (=AUSschalten).

Ladevorgang eines Kondensators

Im Kapitel zu Kondensatoren haben wir gesehen, dass diese elektrischen Bauteile Ladung speichern. Die pro Volt gespeicherte Ladungsmenge wird durch die Kapazität des Kondensators bestimmt. Diese Ladung muss aber auch irgendwie in den Kondensator fließen und dieser Ladungstransport geschieht nicht in Nullkommanichts, sondern benötigt Zeit. Die Zeit hängt dabei von dem Widerstand der Leitungen des Stromkreises ab. Der Widerstand der Leitungen beim Ladevorgang eines Kondensators kann dabei als ein in Reihe geschalteter ohmscher Widerstand betrachtet werden.

RC-Glied
Figure 3:
Reihenschaltung aus einem Kondensator (C) und einem ohmschen Widerstand (R).
In dem Stromkreis gilt zu jedem Zeitpunkt, dass die Summe der Spannungen an den einzelnen Bauteilen gleich groß der Eingangsspannung ist: U0 = UR + UC.
Vor dem Einschaltvorgang ist die Spannung an den Anschlussklemmen und den beiden Bauteilen Null: U0 = UR = UC = 0. Zum Zeitpunkt des Einschaltens steigt die Spannung an den Anschlussklemmen auf U0.
Aus der Beziehung:


ergibt sich mit Formel [3.7], sowie [3.4] und der Tatsache, dass der Strom durch alle Bauteile gleich ist:


Differenzieren nach der Zeit ergibt:


Aus der Definition für Strom ([3.6b]) und der Tatsache, dass wir eine zeitlich konstante Eingangsspannung angelegt haben

und

erhalten wir:


Als eine mögliche Lösung dieser Differentialgleichung erhalten wir:

[3.31]    

Für die Spannung erhalten wir analog:

[3.32]    

Dabei bedeutet:
UC - Spannung am Kondensator, UR - Spannung am ohmschen Widerstand, U0 - Spannung der Spannungsquelle,
I - Gesamtstrom, Q - Ladung, C - Kapazität des Kondensators, R - Widerstand,
t - Zeit, e - Eulersche Zahl

Was ist aus diesen Formeln ersichtlich?
1.) Zum Zeitpunkt des Einschaltens ist t = 0 und damit ergibt sich für die Spannung am Kondensator 0V. Am Widerstand liegt somit die Klemmenspannung U0 an.
2.) Der Strom durch Widerstand und Kondensator ist zum Zeitpunkt t = 0 maximal und beträgt U0 / R.
3.) Der fließende Strom nimmt beständig ab und geht für t = ∞ gegen Null.

Entladevorgang eines Kondensators

Beim Ladevorgang ist in dem Kondensator Energie gespeichert worden (siehe Formel [3.5]). Sinkt die Klemmenspannung nun auf 0V, so wird diese Energie in den Stromkreislauf eingespeist. Der Kondensator entlädt sich und wirkt dabei als Spannungsquelle. Der Strom fließt nun in entgegengesetzer Richtung zum Ladevorgang.

[3.33]    

Oder:


Dabei bedeutet:
U0 - Spannung am Kondensator zum Zeitpunkt t=0, I - Gesamtstrom, C - Kapazität des Kondensators, R - Widerstand,
t - Zeit, e - Eulersche Zahl

Einschaltvorgang einer Spule

Im Kapitel zur Selbstinduktion haben wir gesehen, dass in Spulen eine Gegenspannung induziert wird, sobald sich der Stromfluss durch diese ändert. Auch hier spielt der ohmsche Widerstand des Spulendrahtes eine entscheidende Rolle.

LR-Glied
Figure 4:
Reihenschaltung aus einer Spule (L) und einem ohmschen Widerstand (R).
Auch hier gilt, dass die Summe der Spannungen an den einzelnen Bauteilen gleich der Eingangsspannung ist: U0 = UR + UL
Die Beziehung:


ergibt mit Formel [3.7], sowie [3.29]:


Als Lösung dieser Differentialgleichung erhält man mit der Anfangsbedingung I = 0:

[3.34]    

Für die Spannung an der Spule ergibt sich:

[3.35]    

Dabei bedeutet:
UL - Spannung an der Spule, UR - Spannung am ohmschen Widerstand, U0 - Spannung der Spannungsquelle,
I - Gesamtstrom, L - Induktivität der Spule, R - Widerstand,
t - Zeit, e - Eulersche Zahl

Beim Einschaltvorgang einer Spule gilt:
1.) Zum Zeitpunkt des Einschaltens (t=0) ist die von der Spule induzierte Gegenspannung gleich der Klemmenspannung U0. Am Widerstand fallen Null Volt Spannung ab.
2.) Zum Zeitpunkt t=0 fließt kein Strom.
3.) Die Stromstärke steigt für t = ∞ gegen den Wert U0 / R. Die Zunahme der Stromstärke pro Zeitintervall geht dabei gegen Null.

Ausschaltvorgang einer Spule

Spulen sind wie Kondensatoren Energiespeicher. Schalten wir die Spannung an den Anschlussklemmen des Stromkreises aus Spule und Widerstand ab, so wird nun seitens der Spule durch Selbstinduktion eine Spannung induziert, die den Stromfluss aufrecht erhält. Der Strom fließt weiter in die vorherige Richtung, die an der Spule induzierte Spannung ändert jedoch mit dem Ausschalten ihre Richtung und es gilt stets UL = -UR. Für den Strom ergibt sich:

[3.36]    

Und für die Spannung:

[3.37]    

IA - Strom zum Zeitpunkt t=0, I - Gesamtstrom, L - Induktivität der Spule, R - Widerstand,
UL - Spannung an der Spule, t - Zeit, e - Eulersche Zahl




<<< Selbstinduktion         Energie von Magnetfeldern >>>


Startseite    Das Projekt    Technik    RoboSpatium    Unterstützung    Stichwortverzeichnis    Neuigkeiten    Download    Reaktionen    Spiele    Verweise    Kauftipps    Kontakt    Impressum   





Google Plus Twitter Facebook YouTubt Hackaday Patreon TPO
Counter 1und1